正文 第41章 拉姆齐数，一堵叹息之墙！
高帆感觉自己的呼吸都停滞了。
他的目光，像是被磁石牢牢吸住，死死地钉在那张轻飘飘的草稿纸上。
纸上，三道难题的解法，清晰地呈现在眼前。
第一道附加题，一个复杂的递推数列通项问题。
许燃没有使用常规的特征根法，而是用了一种极其暴力却又无比精妙的“部分分式展开”技巧，将一个复杂的有理函数硬生生拆解成数个简单分式的和。
整个过程行云流水，充满了数学的美感。
“这……这个技巧，《具体数学》里提到过，但……他怎么可能用得这么熟练？”
高帆的声音都在发颤。
他自己也看过那本书，但对这一章只是囫囵吞枣地翻过，根本没想过还能这样用。
简瑶没有说话，她的目光落在了第二道题上。
一道涉及“卡特兰数”的组合计数问题。
常规的解法需要复杂的递推和映射构造。
而许燃的解法，只有三行。
他直接引入了二维坐标系，将问题转化为了“从(0，0)到(n，n)，且不越过直线y=x的路径数”。
一个纯粹的组合问题，被他用解析几何的思路，一剑封喉。
干净，利落，甚至带着一丝蛮不讲理的霸道。
简瑶握着笔的手，不自觉地收紧了。
她自认为在解题思路上已经足够天马行空，但和许燃比起来，她的那点“灵气”，就像是小溪遇上了奔腾入海的长江，完全不在一个量级。
当两人的目光，同时汇聚在第三道题上时，连呼吸都忘了。
那是一道……构造题。
【问题：请构造一个图g，该图无三角形（即不包含k3子图），且其独立数α(g)不大于5。并证明你的构造满足要求。】
如果说前两道题只是“难”，那这道题，就是“恶心”。
它没有明确的计算路径，全靠天赋、灵感和经验。
而许燃的答案……
他画了一个由11个点构成的，极其诡异而不规则的图。
然后用了一整页的篇幅，通过严谨的分类讨论，证明了这个图的任意三个顶点都无法构成三角形，并且任意挑出6个点，都必然会产生一条边。
证明过程无懈可击，逻辑链条严密，令人发指。
高帆看着那个诡异的“11顶点图”，大脑一片空白。
这他妈是怎么想出来的？
凭空想出来的？这是人脑还是超级计算机？
“他……他走之前说让我们检查一下……”
高帆喃喃自语，声音里带着哭腔，“这还检查个屁啊！把标准答案拿过来，可能都没他这个写得漂亮！”
简瑶沉默了良久，才从那巨大的震撼中回过神来。
她拿起那张草稿纸，小心翼翼地，像是捧着一件绝世的艺术品。
“走吧，我们也去吃饭。”她的声音有些飘忽。
那个下午，对高帆和简瑶来说，是一次彻头彻尾的“降维打击”。
之后的几天，这种“打击”成了日常。
小组讨论，变成了许燃的个人秀。无论多难的题目，在他手里都撑不过十分钟。
高帆从一开始的挑衅、不服，到后来的麻木，再到现在的……崇拜。
他彻底放弃了抵抗。
每天下午的小组讨论，他做得最多的事，就是给许燃端茶倒水，然后一脸虔诚地看他表演，时不时地喊一句：
“燃哥牛逼！”
态度比他在家里伺候他爹还殷勤。
而简瑶，则完全沉浸在了与许燃交流的快乐之中。
她不再把许燃当成一个需要仰望的怪物，而是当成了一座尚未完全开发的巨大宝库。
她每天都会搜集各种稀奇古怪的难题，在讨论时向许燃请教。
而许燃，也总能用她从未想象过的角度，给出让她豁然开朗的解答。
两人的关系，在这一次次的学术碰撞中，变得微妙起来。
直到那天下午，刘忠兵亲自走进了阅览室，表情前所未有的严肃。
他将一张只写着一道题的a4纸，拍在了第一组的桌子上。
“这道题，你们小组研究一下。今天之内，给我一个思路。”
三人凑过去一看，瞳孔齐齐一缩。
【问题：证明或证伪，著名的拉姆齐数r(5，5)等于43。】
拉姆齐数！
组合数学领域，王冠上的明珠，也是最臭名昭著的“拦路虎”之一！
它的定义很简单：
需要多少人的聚会，才能保证其中必有5人相互认识，或者必有5人相互不认识？这个“多少人”，就是r(5，5)。
著名数学家保罗·艾狄胥曾说过一句名言：
“如果我们召集全人类最强的数学家，给他们全世界所有的计算机，去计算r(5，5)的值，我们应该能成功。
但如果我们面对的是外星人的威胁，他们要求我们计算出r(6，6)的值，否则就摧毁地球，那么我们唯一的选择，就是集结全人类的军队，去和他们拼命。”
这句话，足以说明拉姆齐数的计算，是何等地狱难度。
目前，学界只知道r(5，5)的范围在[43， 48]之间。
但这道题，却要求他们去尝试证明其下界就是43！
“教练，这……”
高帆的声音都在抖，“这根本不是我们能做的题目吧？这可是世界级的数学难题！”
“我没让你们完全解决它。”
刘忠兵面无表情地说，“我只是想看看，面对这种真正顶级的难题时，你们的思维能走到哪一步。”
说完，他便转身离开。
阅览室里，气氛凝重到了极点。
“生成一个42阶的图，使其既无k5子图，也无5-独立集……这怎么可能？”
高帆抱着脑袋，感觉自己的脑子要炸了。
k5，就是五个顶点互相连接的完全图，代表“5人互相认识”。
5-独立集，就是五个顶点之间没有任何边，代表“5人互相不认识”。
他们需要构造一个42个人的关系网，里面既找不出5个互相认识的小团体，也找不出5个互相不认识的小团体。
这已经不是数学了，这是玄学！
简瑶也紧锁眉头，她拿出草稿纸，尝试从一些小规模的图开始构造，但很快就发现，随着顶点数的增加，复杂性呈指数级爆炸，根本无法控制。
一个下午的时间，很快就过去了。
三人用尽了所有能想到的方法，从随机图论到代数构造，全都宣告失败。
那道题，就像一堵由纯粹的“绝望”砌成的叹息之墙，横亘在他们面前，纹丝不动。
“放弃吧。”
高帆把笔一扔，彻底瘫在了椅子上，“这根本就不是碳基生物能想出来的问题。”
简瑶也疲惫地揉了揉太阳穴，脸上写满了无力感。
这是她第一次，感觉到自己的才华，在某个问题面前，是如此的苍白和渺小。
然而，她不经意地一瞥，却发现许燃从头到尾，都只是静静地看着那道题，没有动笔，也没有说话。
他的眼神，没有沮丧，没有放弃，只有一种……古井无波的专注。
仿佛，他不是在看一道题，而是在欣赏一件艺术品，试图洞穿其背后隐藏的，最深层次的结构与和谐。
他的目光，像是被磁石牢牢吸住，死死地钉在那张轻飘飘的草稿纸上。
纸上，三道难题的解法，清晰地呈现在眼前。
第一道附加题，一个复杂的递推数列通项问题。
许燃没有使用常规的特征根法，而是用了一种极其暴力却又无比精妙的“部分分式展开”技巧，将一个复杂的有理函数硬生生拆解成数个简单分式的和。
整个过程行云流水，充满了数学的美感。
“这……这个技巧，《具体数学》里提到过，但……他怎么可能用得这么熟练？”
高帆的声音都在发颤。
他自己也看过那本书，但对这一章只是囫囵吞枣地翻过，根本没想过还能这样用。
简瑶没有说话，她的目光落在了第二道题上。
一道涉及“卡特兰数”的组合计数问题。
常规的解法需要复杂的递推和映射构造。
而许燃的解法，只有三行。
他直接引入了二维坐标系，将问题转化为了“从(0，0)到(n，n)，且不越过直线y=x的路径数”。
一个纯粹的组合问题，被他用解析几何的思路，一剑封喉。
干净，利落，甚至带着一丝蛮不讲理的霸道。
简瑶握着笔的手，不自觉地收紧了。
她自认为在解题思路上已经足够天马行空，但和许燃比起来，她的那点“灵气”，就像是小溪遇上了奔腾入海的长江，完全不在一个量级。
当两人的目光，同时汇聚在第三道题上时，连呼吸都忘了。
那是一道……构造题。
【问题：请构造一个图g，该图无三角形（即不包含k3子图），且其独立数α(g)不大于5。并证明你的构造满足要求。】
如果说前两道题只是“难”，那这道题，就是“恶心”。
它没有明确的计算路径，全靠天赋、灵感和经验。
而许燃的答案……
他画了一个由11个点构成的，极其诡异而不规则的图。
然后用了一整页的篇幅，通过严谨的分类讨论，证明了这个图的任意三个顶点都无法构成三角形，并且任意挑出6个点，都必然会产生一条边。
证明过程无懈可击，逻辑链条严密，令人发指。
高帆看着那个诡异的“11顶点图”，大脑一片空白。
这他妈是怎么想出来的？
凭空想出来的？这是人脑还是超级计算机？
“他……他走之前说让我们检查一下……”
高帆喃喃自语，声音里带着哭腔，“这还检查个屁啊！把标准答案拿过来，可能都没他这个写得漂亮！”
简瑶沉默了良久，才从那巨大的震撼中回过神来。
她拿起那张草稿纸，小心翼翼地，像是捧着一件绝世的艺术品。
“走吧，我们也去吃饭。”她的声音有些飘忽。
那个下午，对高帆和简瑶来说，是一次彻头彻尾的“降维打击”。
之后的几天，这种“打击”成了日常。
小组讨论，变成了许燃的个人秀。无论多难的题目，在他手里都撑不过十分钟。
高帆从一开始的挑衅、不服，到后来的麻木，再到现在的……崇拜。
他彻底放弃了抵抗。
每天下午的小组讨论，他做得最多的事，就是给许燃端茶倒水，然后一脸虔诚地看他表演，时不时地喊一句：
“燃哥牛逼！”
态度比他在家里伺候他爹还殷勤。
而简瑶，则完全沉浸在了与许燃交流的快乐之中。
她不再把许燃当成一个需要仰望的怪物，而是当成了一座尚未完全开发的巨大宝库。
她每天都会搜集各种稀奇古怪的难题，在讨论时向许燃请教。
而许燃，也总能用她从未想象过的角度，给出让她豁然开朗的解答。
两人的关系，在这一次次的学术碰撞中，变得微妙起来。
直到那天下午，刘忠兵亲自走进了阅览室，表情前所未有的严肃。
他将一张只写着一道题的a4纸，拍在了第一组的桌子上。
“这道题，你们小组研究一下。今天之内，给我一个思路。”
三人凑过去一看，瞳孔齐齐一缩。
【问题：证明或证伪，著名的拉姆齐数r(5，5)等于43。】
拉姆齐数！
组合数学领域，王冠上的明珠，也是最臭名昭著的“拦路虎”之一！
它的定义很简单：
需要多少人的聚会，才能保证其中必有5人相互认识，或者必有5人相互不认识？这个“多少人”，就是r(5，5)。
著名数学家保罗·艾狄胥曾说过一句名言：
“如果我们召集全人类最强的数学家，给他们全世界所有的计算机，去计算r(5，5)的值，我们应该能成功。
但如果我们面对的是外星人的威胁，他们要求我们计算出r(6，6)的值，否则就摧毁地球，那么我们唯一的选择，就是集结全人类的军队，去和他们拼命。”
这句话，足以说明拉姆齐数的计算，是何等地狱难度。
目前，学界只知道r(5，5)的范围在[43， 48]之间。
但这道题，却要求他们去尝试证明其下界就是43！
“教练，这……”
高帆的声音都在抖，“这根本不是我们能做的题目吧？这可是世界级的数学难题！”
“我没让你们完全解决它。”
刘忠兵面无表情地说，“我只是想看看，面对这种真正顶级的难题时，你们的思维能走到哪一步。”
说完，他便转身离开。
阅览室里，气氛凝重到了极点。
“生成一个42阶的图，使其既无k5子图，也无5-独立集……这怎么可能？”
高帆抱着脑袋，感觉自己的脑子要炸了。
k5，就是五个顶点互相连接的完全图，代表“5人互相认识”。
5-独立集，就是五个顶点之间没有任何边，代表“5人互相不认识”。
他们需要构造一个42个人的关系网，里面既找不出5个互相认识的小团体，也找不出5个互相不认识的小团体。
这已经不是数学了，这是玄学！
简瑶也紧锁眉头，她拿出草稿纸，尝试从一些小规模的图开始构造，但很快就发现，随着顶点数的增加，复杂性呈指数级爆炸，根本无法控制。
一个下午的时间，很快就过去了。
三人用尽了所有能想到的方法，从随机图论到代数构造，全都宣告失败。
那道题，就像一堵由纯粹的“绝望”砌成的叹息之墙，横亘在他们面前，纹丝不动。
“放弃吧。”
高帆把笔一扔，彻底瘫在了椅子上，“这根本就不是碳基生物能想出来的问题。”
简瑶也疲惫地揉了揉太阳穴，脸上写满了无力感。
这是她第一次，感觉到自己的才华，在某个问题面前，是如此的苍白和渺小。
然而，她不经意地一瞥，却发现许燃从头到尾，都只是静静地看着那道题，没有动笔，也没有说话。
他的眼神，没有沮丧，没有放弃，只有一种……古井无波的专注。
仿佛，他不是在看一道题，而是在欣赏一件艺术品，试图洞穿其背后隐藏的，最深层次的结构与和谐。
